Логарифм макрос

[AI!]

Почему первые биты определяются пачками (через CD32), а остальные по одному?

спасибо за идею... надо подумать..

[AI!]

Подумал...
В новой версии всё так же как и в первой, т.е. работает мгновенно, во всех допустимых значениях от 0 до 3,4E+38, и точность до 1/256.
Основное отличие - за счёт использования только CD32 получается всего 3 итерации (развёрнутых в линию, отсюда и мгновенность),
вместо 11 в первой публичной версии макроса (или 15, если бы CD32 вообще не использовался)

PS напомню: lb(x) - Двоичный логарифм
ln(x)=lb(x)/lb(e)=ln(2)*lb(x) = 0,693147*lb(x)
lg(x)=lb(x)/lb(10)=lg(2)*lb(x) = 0,30103*lb(x)

[Владимир Ситников]

Подумал...
В новой версии всё так же как и в первой, т.е. работает мгновенно, во всех допустимых значениях от 0 до 3,4E+38, и точность до 1/256.
Основное отличие - за счёт использования только CD32 получается всего 3 итерации (развёрнутых в линию, отсюда и мгновенность),
вместо 11 в первой публичной версии макроса (или 15, если бы CD32 вообще не использовался)

PS напомню: lb(x) - Двоичный логарифм
ln(x)=lb(x)/lb(e)=ln(2)*lb(x) = 0,693147*lb(x)
lg(x)=lb(x)/lb(10)=lg(2)*lb(x) = 0,30103*lb(x)

О, здорово. Я правильно понимаю, что последней CD32(POW(x, 256))/256 цепочке на вход всегда подаются данные в диапазоне 0,9...1,1?

Тогда можно повысить точность до 1.4e-4 == 1/6900, если использовать приближение lb(x) = 2*(x-1)/(x+1) / ln(2) вместо последней цепочки CD(POW)
Если взять ещё один член 2*((x-1)/(x+1) + ((x-1)/(x+1))³/3) / ln(2), то точность будет почти до 1e-7.

Вот пример такого (! на картинке два члена ряда не встроены в исходную формулу специально, чтобы сравнивать): lb2_3.png

lb(1.01) == 0.014355292977070055
Вариант с тремя CD32 выдаёт 1.2e-2

Если заменить последний CD32 на ряд (из двух элементов), то получится точный ответ:

irb(main):009:0> x=1.01
=> 1.01
irb(main):010:0> y=(x-1)/(x+1)
=> 0.004975124378109458
irb(main):012:0> Math.log(1.01, 2)
=> 0.014355292977070055
irb(main):013:0> 2*(y+y**3/3)/Math.log(2)
=> 0.014355292975311074

Отсюда вывод: если на последнюю цепочку подаваемые значения невелики (близки к 1), то нужно заменять её на 2*(y+y**3/3)/Math.log(2)

[AI!]

lb(1.01) == 0.014355292977070055
Вариант с тремя CD32 выдаёт 1.2e-2

я же сказал - точность до 1/256 (~0,004), правда забыл уточнить, что округление всегда в меньшую сторону (по модулю)
откуда ваша формула? можно ссылку?

PS тем временем сделал вариант с 4мя итерациями, получается точность 1/8192,
так же добавил выходы с ln(x) и lg(x), с учётом понижающего коэффициента, точность получается 1e-4

[Владимир Ситников]

я же сказал - точность до 1/256 (~0,004), правда забыл уточнить, что округление всегда в меньшую сторону (по модулю)

Это понятно. Я про то, что для близких к 1 значений можно вместо CD32 использовать ряд и тем самым повысить точность.

откуда ваша формула? можно ссылку?

7-е сообщение в этой теме, 1-ая ссылка.

Могу повторить: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B....D1.8F.D0.B4_2

[AI!]

то точность будет почти до 1e-7.

Убедили.
Новая версия, на этот раз только натуральный логарифм (как самый востребованный)
И точность, с ваших слов, почти до 1e-7

[Владимир Ситников]

Убедили.
Новая версия, на этот раз только натуральный логарифм (как самый востребованный)
И точность, с ваших слов, почти до 1e-7

CD32 выдаёт "оценку логарифма снизу". Значит, на 2(y+y³/3) подаются числа больше 1. Будут ли все они меньше 1.1? Без понятия (==надо вдумчиво курить CD32), но по нескольким тестам все они оказываются меньше 1.1

Вот график ln(x)-2(y+y³/₃) (диапазон по вертикали: -1e-8 .. 1e-7):
Снимок экрана 2016-06-13 в 11.05.03.png

[AI!]

Будут ли все они меньше 1.1? Без понятия

да.
то что на входе 3ей итерации даёт ответ строго меньше 1/8,
т.е. на входе оной будет строго меньше 2^(1/8)~1,09050

PS может всё же вернуть на место 3ю итерацию?
а с помощью рядов считать 4ую, и на входе рядов будет меньше 2^(1/256)~1,0027

[AI!]

да.
то что на входе 3ей итерации даёт ответ строго меньше 1/8,
т.е. на входе оной будет строго меньше 2^(1/8)~1,09050

ещё подумал..... и просто сдвинул "ожидаемый ответ" от 3ей итерации с (0..1/8) на (-1/16..1/16)
т.е. на входе оной вместо (1;1,09050) будет (0,95760;1,04427), что ещё повысит точность...

[Владимир Ситников]

да.
то что на входе 3ей итерации даёт ответ строго меньше 1/8,
т.е. на входе оной будет строго меньше 2^(1/8)~1,09050

PS может всё же вернуть на место 3ю итерацию?
а с помощью рядов считать 4ую, и на входе рядов будет меньше 2^(1/256)~1,0027

А смысл возвращать третью итерацию cd32? 1.09 вполне достаточно для ряда. А fpow 256 вряд ли положительно скажется на скорости.